Mapa de Matemáticas Financieras

Guía autodidacta de la materia 213170 (CUGDL): los conceptos de las cuatro unidades, en el orden en que se construyen uno sobre otro, con fórmulas, ejemplos resueltos y los errores típicos de examen.

Caso práctico 20%Examen 40%Portafolio semanal 40%Vas en: anualidades

U1 · 4 SEMValor del dinero en el tiempo

U2 · 4 SEMEvaluación de proyectos

U3 · 4 SEMEvaluación de inversiones

U4 · 3 SEMFinanciamiento y planeación

La idea central de todo el curso cabe en una línea: un peso hoy vale más que un peso mañana. Casi todo lo demás (anualidades, VPN, precio de un bono, WACC) es la misma operación —traer o llevar dinero en el tiempo con una tasa— aplicada a situaciones distintas. Si dominas bien la Unidad 1, las siguientes son variaciones.

Unidad 1

Valor del dinero en el tiempo

Repaso rápido: lo que ya viste

Interés simple: el interés se calcula siempre sobre el capital original. Compuesto: el interés se suma al capital y genera más interés.

Simple I = C·i·t M = C(1 + i·t) Compuesto M = C(1 + i)^n C = M / (1 + i)^n ← VF y VP Periódica i = j / m j = tasa nominal anual, m = capitalizaciones por año Efectiva i_ef = (1 + j/m)^m − 1

Ejemplo

$10,000 durante 2 años al 12% anual. Simple: 10,000(1 + 0.12·2) = $12,400. Compuesto mensual (i = 1%, n = 24): 10,000(1.01)^24 = $12,697.35.

Un crédito que anuncia 24% anual capitalizable mensual en realidad cuesta (1.02)^12 − 1 = 26.82% efectivo anual. Por eso los bancos anuncian la nominal.

Error típico

Mezclar unidades: si los pagos son mensuales, i y n deben ser mensuales. Primero ajusta la tasa, luego calcula.
Dividir la tasa efectiva entre 12 para “volverla mensual”. Eso solo vale para nominales. Efectiva anual → mensual equivalente: (1 + i_ef)^(1/12) − 1.

Anualidades: una serie de pagos iguales

Una anualidad es una serie de pagos iguales, a intervalos iguales, con una tasa constante. No tiene que ser anual: la renta mensual, la mensualidad del coche o el ahorro quincenal son anualidades. Si falla cualquiera de las tres condiciones, ya no aplica la fórmula y hay que descontar flujo por flujo.

Intuición: la fórmula es solo un atajo para sumar muchos R/(1+i)^k. Si en algún momento no te acuerdas, puedes llegar al mismo número sumando cada pago descontado. Hacerlo una vez a mano con 4 o 5 pagos es la mejor forma de entenderla.

Vencida (ordinaria): el pago va al final de cada periodo (créditos, la mayoría de los casos). Anticipada: al inicio (rentas, colegiaturas, seguros).

Vencida VF = R · [ (1 + i)^n − 1 ] / i VP = R · [ 1 − (1 + i)^−n ] / i Anticipada = vencida × (1 + i) ← cada pago gana un periodo extra VF = R · [ (1 + i)^n − 1 ] / i · (1 + i) VP = R · [ 1 − (1 + i)^−n ] / i · (1 + i) Despejes R = VP · i / [ 1 − (1 + i)^−n ] ← la mensualidad de un crédito n = −ln(1 − VP·i/R) / ln(1 + i) ← cuántos pagos faltan i → no tiene despeje; se resuelve por tanteo o con TASA() en Excel

Ejemplo 1 · VF vencida (ahorro)

Depositas $2,000 al final de cada mes durante 2 años, al 12% anual capitalizable mensual. i = 0.01, n = 24.

VF = 2,000 · [(1.01)^24 − 1] / 0.01 = $53,946.93

Aportaste $48,000; los $5,946.93 restantes son interés.

Ejemplo 2 · VP anticipada (renta)

Un contrato de renta de 12 meses a $5,000 pagados al inicio de cada mes, con tasa del 18% capitalizable mensual (i = 0.015). ¿Cuánto vale hoy todo el contrato?

VP vencida = 5,000 · [1 − 1.015^−12] / 0.015 = $54,537.53
VP anticipada = 54,537.53 × 1.015 = $55,355.59

Lo que sigue en la unidad y a veces se cuela en el examen: anualidades diferidas (los pagos empiezan después de k periodos de gracia: calculas el VP como vencida y luego lo descuentas (1+i)^−k más).

Error típico

Confundir vencida y anticipada. Pregunta clave: ¿el primer pago ocurre hoy (anticipada) o dentro de un periodo (vencida)?
Usar VF cuando piden VP. VP = “¿cuánto vale hoy?” / “¿de cuánto es el préstamo?”. VF = “¿cuánto tendré al final?”.
Olvidar un enganche: se resta al precio antes de calcular la mensualidad.

Tabla de amortización

Muestra cómo cada pago de un crédito se divide en interés y abono a capital. Con pagos iguales (sistema francés), al principio casi todo es interés; al final, casi todo es capital. Solo se necesitan tres reglas por renglón:

Interés_k = Saldo_(k−1) × i Abono_k = R − Interés_k Saldo_k = Saldo_(k−1) − Abono_k ← el último saldo debe dar 0 (±centavos)

Ejemplo 3 · Crédito automotriz

$150,000 a 36 meses, 15% anual capitalizable mensual (i = 0.0125).

R = 150,000 · 0.0125 / [1 − 1.0125^−36] = $5,199.80

Mes	Pago	Interés	Abono a capital	Saldo
0	—	—	—	150,000.00
1	5,199.80	1,875.00	3,324.80	146,675.20
2	5,199.80	1,833.44	3,366.36	143,308.84
3	5,199.80	1,791.36	3,408.44	139,900.40
…	…	…	…	…
36	5,199.80	≈ 64	≈ 5,136	0.00

Intereses totales: 36 × 5,199.80 − 150,000 ≈ $37,193. Por eso los abonos a capital al inicio ahorran tanto: reducen el saldo sobre el que se cobra todo el interés futuro.

Práctica que vale oro: arma esta tabla completa en Excel con esas tres fórmulas y compara con PAGO(). Si el saldo final da cero, entendiste la unidad entera.

Unidad 2

Evaluación de proyectos de inversión

Aquí dejas de calcular “cuánto pago” y empiezas a decidir “¿conviene invertir?”. La herramienta es la misma: traer flujos al presente.

Flujos de caja

Un flujo de caja es el dinero que realmente entra o sale en cada periodo (no la utilidad contable: la depreciación, por ejemplo, no es salida de efectivo). Tipos habituales: inversión inicial (periodo 0, negativo), flujos operativos (ingresos − costos − impuestos), y flujo terminal (valor de rescate, recuperación de capital de trabajo). Se dibujan en una línea de tiempo; acostúmbrate a dibujarla siempre, evita la mitad de los errores.

Perpetuidades

Una anualidad que nunca termina. Si en VP = R[1 − (1+i)^−n]/i haces n → ∞, el término (1+i)^−n tiende a 0 y queda:

Perpetuidad VP = R / i Creciente (a tasa g) VP = R₁ / (i − g) solo si i > g

Ejemplo

Un local que genera $1,200 mensuales para siempre, con tasa de 1% mensual: VP = 1,200 / 0.01 = $120,000. Esta misma fórmula reaparece en la Unidad 3 para valuar acciones.

VPN y TIR

VPN = −I₀ + Σ FE_t / (1 + k)^t k = tasa de descuento (costo de oportunidad) TIR = la tasa que hace VPN = 0 se encuentra por tanteo / interpolación / TIR() Regla: VPN > 0 → acepta TIR > k → acepta

El VPN responde “¿cuánto dinero de hoy me hace más rico este proyecto, después de pagar lo que me costaría el dinero?”. La TIR responde “¿qué rendimiento porcentual da?”. El VPN es la regla más confiable; la TIR es más fácil de comunicar.

Ejemplo

Inversión $100,000; flujos al final de los años 1–4: 30,000 / 35,000 / 40,000 / 45,000; k = 12%.

VPN = −100,000 + 30,000/1.12 + 35,000/1.12² + 40,000/1.12³ + 45,000/1.12⁴ = $11,757.02
TIR ≈ 17.09%

Acepta: VPN positivo y TIR (17.09%) mayor que 12%.

Dónde falla la TIR (pregunta favorita de examen)

Proyectos excluyentes: un proyecto chico puede tener TIR más alta pero VPN menor. Si solo puedes elegir uno, manda el VPN.
Flujos no convencionales (signos que cambian más de una vez): puede haber varias TIR o ninguna.
La TIR supone que reinviertes los flujos a la misma TIR, lo cual casi nunca es realista.
El VPN depende totalmente de k. Una tasa mal elegida da una decisión mal tomada con números “correctos”.

Unidad 3

Evaluación de inversiones

Aparece un ingrediente nuevo: el riesgo. Hasta aquí los flujos eran seguros; ahora son inciertos, y la tasa de descuento debe reflejarlo.

Inversión vs. financiamiento

Son dos lados de la misma operación: quien invierte presta o aporta dinero y espera rendimiento; quien se financia recibe dinero y paga un costo. El rendimiento del inversionista es el costo de la empresa, y eso conecta directo con la Unidad 4.

Bonos y acciones

Un bono es deuda: paga cupones fijos y devuelve el valor nominal al vencer. Su precio es una anualidad (cupones) + un valor presente simple (nominal). Una acción es propiedad: sus dividendos no están garantizados.

Bono P = C · [1 − (1 + y)^−n] / y + VN / (1 + y)^n Acción P₀ = D₁ / (r − g) modelo de Gordon = perpetuidad creciente

Ejemplo · bono

VN $1,000, cupón 8% anual pagado semestralmente (C = $40), 5 años (n = 10), rendimiento de mercado 10% (y = 5% semestral).

P = 40 · [1 − 1.05^−10]/0.05 + 1,000/1.05^10 = $922.78

Cotiza bajo la par porque el mercado exige más (10%) de lo que paga el cupón (8%). Regla: si suben las tasas, bajan los precios de los bonos, y viceversa.

Ejemplo · acción

Próximo dividendo $5, rendimiento exigido 12%, crecimiento 4%: P₀ = 5 / (0.12 − 0.04) = $62.50. Nota lo sensible que es: si g sube a 6%, el precio pasa a $83.33. Pequeñas suposiciones mueven mucho el resultado.

Rendimiento esperado, riesgo y portafolios

Rendimiento esperado E(R) = Σ p_s · R_s Varianza σ² = Σ p_s · (R_s − E(R))² σ = √σ² Portafolio 2 activos E(Rp) = wA·E(RA) + wB·E(RB) σp² = wA²σA² + wB²σB² + 2·wA·wB·ρ·σA·σB CAPM (si lo ven) E(R) = Rf + β · (Rm − Rf)

Ejemplo · la magia de diversificar

60% en A (E = 12%, σ = 20%) y 40% en B (E = 6%, σ = 10%), correlación ρ = 0.2.

E(Rp) = 0.6·12% + 0.4·6% = 9.6%
σp = √(0.6²·0.2² + 0.4²·0.1² + 2·0.6·0.4·0.2·0.2·0.1) = 13.39%

El promedio ponderado de los riesgos sería 16%, pero el portafolio solo tiene 13.39%. Esa diferencia es la diversificación: el rendimiento sí se promedia, el riesgo no, siempre que ρ < 1.

Diversificar elimina el riesgo no sistemático (propio de cada empresa), pero no el sistemático (de mercado: tasas, inflación, recesión). Por eso el mercado solo “paga” por el riesgo sistemático, que es lo que mide β.

Introducción a derivados

Un derivado es un contrato cuyo valor depende de otro activo (subyacente).

Futuro: obligación de comprar/vender a un precio fijado hoy en una fecha futura. Ambas partes están obligadas. Uso típico: cubrir precio de maíz, dólar, petróleo.
Opción call: derecho (no obligación) a comprar a precio K. Pago al vencer: máx(S − K, 0) − prima.
Opción put: derecho a vender a K. Pago: máx(K − S, 0) − prima.

Error típico

Olvidar restar la prima al calcular la ganancia de una opción.
Pensar que el comprador de un futuro “puede no ejercer”. Eso es de las opciones, no de los futuros.

Unidad 4

Decisiones de financiamiento

Deuda vs. capital

Deuda: más barata porque los intereses son deducibles de impuestos (escudo fiscal) y el acreedor cobra antes que el accionista; pero obliga a pagar pase lo que pase y aumenta el riesgo de quiebra. Capital: no obliga a pagos fijos, pero es más caro (el accionista exige más por asumir más riesgo) y diluye el control. La estructura de capital es la mezcla de ambos.

Costo Promedio Ponderado de Capital (CPPC / WACC)

WACC = (E/V)·Re + (D/V)·Rd·(1 − T) V = E + D, T = tasa de impuestos

Ejemplo

Capital $600,000 con costo 15%; deuda $400,000 al 10%; ISR 30%.

WACC = 0.6·15% + 0.4·10%·(1 − 0.30) = 9% + 2.8% = 11.8%

Aquí se cierra el círculo: el WACC es la tasa k que usas para el VPN de la Unidad 2. Un proyecto que rinde menos de 11.8% destruye valor para esta empresa.

Error típico

Olvidar el (1 − T) en la deuda, o aplicarlo al capital.
Usar valores contables cuando piden de mercado (o al revés). Lee qué pesos da el problema.

Razones financieras

Grupo	Razón	Fórmula	Qué pregunta responde
Liquidez	Circulante	AC / PC	¿Puedo pagar lo de corto plazo?
Liquidez	Prueba ácida	(AC − Inv) / PC	¿Y sin vender inventario?
Endeudamiento	Deuda total	Pasivo / Activo	¿Cuánto financian los acreedores?
Endeudamiento	Cobertura de intereses	UAII / Intereses	¿Alcanza la operación para los intereses?
Actividad	Rotación de inventario	Costo ventas / Inv	¿Qué tan rápido vendo?
Rentabilidad	ROA	Utilidad neta / Activo	¿Cuánto genera cada peso invertido?
Rentabilidad	ROE	Utilidad neta / Capital	¿Cuánto gana el accionista?

Una razón sola no dice nada. Siempre compárala contra la misma empresa en años anteriores o contra su industria. Una liquidez de 3.0 puede ser “sana” o puede significar efectivo ocioso.

Para adelantarte

Plan semana a semana

Pensado para ir unas 2–3 semanas por delante del grupo sin descuidar el portafolio semanal, que vale 40%.

Cierra anualidades a mano. Resuelve 10 ejercicios mezclando vencidas, anticipadas y diferidas. Para cada uno, dibuja primero la línea de tiempo.
Tabla de amortización en Excel. Arma la del crédito de $150,000 desde cero; luego prueba qué pasa con un abono extra de $10,000 en el mes 6.
Perpetuidades + VPN. Evalúa 3 proyectos con flujos distintos; calcula VPN a mano y verifica con VNA().
TIR y sus trampas. Busca la TIR por tanteo (prueba tasas hasta que el VPN cruce cero) antes de usar TIR(). Compara dos proyectos excluyentes donde TIR y VPN no coinciden.
Bonos y acciones. Valúa bonos sobre, a la par y bajo la par. Nota que esto es la anualidad de la Unidad 1 con otro nombre.
Riesgo y portafolio. Repite el ejemplo de 2 activos cambiando ρ a −1, 0 y 1 y observa cómo cambia σp.
WACC y razones. Toma un reporte anual real de una emisora de la BMV, calcula 6 razones y un WACC aproximado. Sirve como ensayo del proyecto final.

Herramienta

Excel de bolsillo

Excel en español. Convención de signos: el dinero que sale va negativo. El último argumento tipo: 0 = vencida, 1 = anticipada.

VF(tasa; nper; pago; [va]; [tipo]) =VF(1%;24;-2000) → 53,946.93 VA(tasa; nper; pago; [vf]; [tipo]) =VA(1.5%;12;-5000;;1) → 55,355.59 PAGO(tasa; nper; va) =PAGO(15%/12;36;-150000) → 5,199.80 NPER(tasa; pago; va) cuántos pagos TASA(nper; pago; va) tasa por periodo VNA(tasa; flujos_1..n) + flujo_0 ¡VNA no incluye el periodo 0! TIR(flujos_0..n)

Ojo con Excel

VNA descuenta el primer valor del rango un periodo. Si metes la inversión inicial dentro del rango, el VPN sale mal. Súmala aparte.
Úsalo para comprobar, no para sustituir. En el examen (40%) probablemente tendrás que plantear la fórmula a mano.